ESTABILIDAD EN SITEMAS DE CONTROL

Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable.

Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada.

Para comprobar la estabilidad de un sistema se tiene que analizar la función de transferencia.

Nos quedaron dos ecuaciones una en el numerador y otra en el denominador.la ecuación de denominador se llamara ecuación característica y para estudiar la estabilidad del sistema tendremos que averiguar las raíces de la ecuación característica.

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD

La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos (raíces de la ecuación característica) en el plano s. Si alguno de los polos dela ecuación característica se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado (fig. 3)  se ubican en el semiplano izquierdo plano s. esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte  real negativa.

 Función de transferencia lazo cerrado 

                          

Cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación característica

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.

1º Ecuación característica 

2º Están todos los términos y son todos positivos

3º Se plantea la siguiente tabla con la ecuación característica y se resuelve

Donde 

El criterio de Routh establece que el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cabios de signo de primera columna.

Ejemplo

Sea el siguiente polinomio

Las condiciones para que todas las raíces tengan partes reales negativas son:

Ejemplo 2.

Sea el siguiente polinomio

Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.

CASOS ESPECIALES

Si un término en cualquier columna es cero y los demás términos no son cero. El elemento cero puede reemplazarse por un numero positivo ε y continuar.

Ejemplo 3.

Sea el siguiente polinomio

Si el termino de arriba y el de abajo del 0 es del mismo signo no existirá cambio de signo, por tanto inestable.

CASOS ESPECIALES

Si toda la fila es cero hacemos la derivada del de arriba, la colocamos debajo y podemos continuar.

Ejemplo 4.

Sea el polinomio

CONTROL PID CLÁSICO

Es un mecanismo de control por retroalimentación que se utiliza en sistemas de control industriales. Un controlador PID corrige el error  entre el valor medio y el valor que se quiere obtener calculando y luego sacando una acción correctora que puede ajustar al proceso acorde. El algoritmo de cálculo del control PID se da tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo.

·         El valor proporcional determinar la reacción del error actual.

·         El integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento reduce a cero.

·         El derivativo determina la reacción de tiempo en el que el error se produce.

La familia de controladores de estructura fija o controladores PID, han mostrado ser robustos y extremadamente beneficiosos en el control de muchas aplicaciones de importancia en la industria siendo el más ampliamente utilizado en la industria moderna, controlando más del 95 por ciento de los procesos industriales en lazo cerrado

Estructura de un PID

Para representar la estructura de un controlador PID se considera un lazo básico de control SISO (única entrada, única salida) el cual se presenta en la figura, del cual se deduce las formas estándar de los controladores PID:

REGLAS DE SINTONIZACION PARA CONTROLADORES PID

El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Ziegler y Nichols sugirieron reglas para sintonizar los controladores PID lo cual significa establecer valores Kp, Ti , Td; basados en la respuestas escalón experimentales o en valor de Kp que se produce en estabilidad marginal cuando solo se usa la acción de control proporcional. 

METODO DE OSCILACIÓN DE ZIEGLER NICHOLS

Este método propone un arreglo para determinar los valores de ganancia proporcional Kp, tiempo integral Ti, y tiempo derivativo Td, con base en la respuesta transitoria de una planta especifica. El procedimiento es el siguiente:

1. Aplicar a la planta solo control proporcional con ganancia Kp pequeña.

2. Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilación debe ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador u(t).

3. Registrar la ganancia critica Kp,Kc y el período de oscilación Pc de u(t) a la salida del controlador.

4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo al cuadro 1.

MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN DE ZIEGLER-NICHOLS

Muchas plantas en la práctica pueden describirse satisfactoriamente con un modelo de la forma de la figura (1). Una versión linealizada cuantitativa de este modelo puede obtenerse mediante un experimento a lazo abierto con el siguiente procedimiento:

1. Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto de operación normal manipulando u(t). Supongamos que la planta se estabiliza en y(t) = y0 para u(t) = u0.

2. En un instante inicial t0 aplicar un cambio escalón en la entrada, desde u0 a u∞ (el salto debe estar entre un 10 a 20 por ciento del valor nominal).

3. Registrar la respuesta de la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación.

En la figura (2) muestra una curva típica de este tipo.

Se debe calcular los parámetros del modelo de la figura (1) a partir de las siguientes formulas:

Los parámetros del controlador PID propuestos por Ziegler y Nichols a partir de la curva de reacción se determinan a través de los valores del cuadro (2).

SISTEMA DE CONTROL PID EN LAZO CERRADO

El control PID es un bloque que se encarga de corregir el error que recibe de la diferencia de la señal de entrada y la señal de salida del tacómetro con ganancia de 0.023, el error corregido entra en una etapa de amplificación antes de entrar a la planta, el diagrama de bloques de sistema de control en lazo cerrado se muestra en la figura 3. La respuesta transitoria del sistema se desea que responda con una elongación menor al 30% y frecuencia de 50.

LOCALIZACION DE LSO PARAMETROS Kp, Kd Y Ki DEL CONTROLADOR

La función de transferencia del controlador PID está dada por la siguiente función:

El objetivo es encontrar los valores adecuados de los coeficientes del numerador tal que el sistema de control se comporte  con  sobreelongacion menor al 30% y frecuencia igual a 50. Para hallar los valores del controlador se utiliza el lugar geométrico de las raíces  con ayuda de matlab.

Primero hay que colocar en Matlab-rltool las restricciones del sistema esto es la soobreelongacion y la frecuencia, esto se puede observar en la figura4. 

Una vez introducido las dos restricciones, se introduce la función de transferencia de la planta, el amplificador con ganancia de dos, el tacómetro con ganancia de uno y la función de transferencia de motor, con ello Matlab obtiene el lugar geométrico de la raíces del sistema. Realizado el paso anterior se procede a darle avalores arbitrarios a los ceros  del controlador tal que el lugar geométrico del as raíces se intercepte con la curva de la frecuencia y se encuentre  acotado por las rectas de la sobreeleongacion, posteriormente el valor de la ganancia del controlador  debe ser colocado sobre la curva  de la frecuencia tal como se muestra en la figura 5.

Con los pasos anteriores los valores del controlador fueron calculados por Matlab, para obtener los valores solo se tiene  que exportar la función de transferencia del controlador  a la consola de Matlab, la cual se muestra a continuación:

RESULTADOS Los valores del controlador son: 

dichos valores generan la respuesta transitoria que cumple con las restricciones dadas, eso se puede  observar en la figura 6.

Dado que ya se conoce la función de transferencia del controlador, la función de transferencia de la planta, las ganancias del amplificador y el tacómetro, se procede a calcular la función de transferencia del sistema controlado, la cual se muestra a continuación:

Analizando la función de transferencia del sistema se demuestra que la sobreelongación es de 0.29 y la frecuencia es de 50, por lo tanto el sistema controlado cumple las restricciones definidas al inicio